OTTAVA LEZIONE

TEMPO DI STUDIO: 30 MINUTI

PERIODO: Novembre

Principi di Kirchhoff

I circuiti di distribuzione dell'energia elettrica, come pure i circuiti interni degli apparecchi elettrici, si presentano spesso come una vera e propria rete di conduttori costituita da un certo numero di circuiti poligonali chiusi formati da uno o più lati: ognuno di questi circuiti costituisce una maglia della rete, e i punti di concorso di più lati ne costituiscono i nodi.

La figura schematizza una rete elettrica: vi sono indicati i generatori che agiscono nei vari lati e le resistenze dei lati stessi.

Il problema principale connesso a simili circuiti si propone la determinazione, in valore e verso, delle correnti che percorrono i singoli lati delle maglie. Per tale determinazione servono i due principi di Kirchhoff.

Si consideri una maglia qualsiasi, ad esempio la maglia ABCD, i cui lati hanno rispettivamente le resistenze R₁, R₂, R₃, R₄, comprese anche le resistenze interne dei generatori di f.e.m. E₁, E₂, E₃, inseriti nei lati AB, BC e CD.

Siano I₁ I₂ I₃, I₄ le correnti nei quattro lati della maglia, e siano quelli indicati in figura i loro versi fissati ad arbitrio.

Nel nodo A della maglia concorrono quattro lati, due percorsi dalle correnti I₁, e I₄ appartenenti alla maglia ABCD e due percorsi delle correnti I₅, I₆, appartenenti a maglie adiacenti.

Dato che nel nodo A non può aversi né accumulo né sottrazione di cariche elettriche (condizione di continuità), ad ogni carica che arriva al nodo deve corrispondere, nello stesso intervallo, un’eguale carica che si allontana.

Ma la quantità di elettricità che nell'unità di tempo arriva al nodo A non è altro che la somma delle intensità di correnti dirette verso il nodo stesso, e la corrispondente quantità uscente non è altro che la somma delle correnti che si allontanano dallo stesso nodo.

Ne deriva che: "la somma delle correnti dirette verso un nodo di una rete è uguale in valore alla somma di tutte le correnti che se ne allontanano"

Quando si considerino positive le correnti dirette verso il nodo e negative quelle che partono dal nodo, si può dire che la somma algebrica delle correnti che convergono in un nodo è nulla.

E' questo il primo principio di Kirchhoff, che applicato al nodo A può essere scritto nelle forme

I₅ + I₆ - I₁ - I₄ = 0

I₅ + I₆ = I₁ + I₄

Per quanto riguarda il secondo principio, si consideri ancora la maglia precedente e si supponga di percorrerla nel verso in cui si eseguono i punti A, B, C, D (verso di percorrenza).

Si applichi la legge di Ohm ai singoli tratti successivi AB, BC, CD, DA della maglia in questione, tenendo presenti i versi delle f.e.m. e delle correnti indicate nella figura.

V_AB - E₁ = R₁ I₁

V_BC + E₂ = -R₂ I₂

V_CD + E₃ = R₃ I₃

V_DA = - R₄ I₄

Facendo la somma, a membro a membro, di queste espressioni si ottiene

- E₁ + E₂ + E₃ = R₁ I₁ - R₂ I₂ + R₃ I₃ - R₄ I₄

Essendo nulla evidentemente la somma

V_AB + V_BC + V_CD + V_DA = 0

Eseguita lungo il percorso chiuso dalla maglia.

Al primo membro della relazione si ha la somma algebrica delle f.e.m. agenti nella maglia considerata (assumendo come positive le f.e.m. dirette secondo il verso di percorrenza, e negative quelle dirette in verso opposto); al secondo membro si ha la somma algebrica dei prodotti delle resistenze per le intensità delle correnti ossia delle cadute di tensione dei singoli lati della maglia (considerando positive quelle relative ai lati in cui le correnti hanno verso uguale a quello di percorrenza, e negative le cadute nei lati ove le correnti hanno verso opposto a quello di percorrenza).

La relazione sopra citata compendia il secondo principio di Kirchhoff, che può essere così enunciato: "La somma algebrica delle f.e.m. che agiscono in una maglia è uguale alla somma algebrica delle cadute ohmiche lungo i lati della stessa maglia"

Per l'applicazione dei principi di Kirchhoff nella risoluzione di una rete si procede nel modo seguente: si fissano ad arbitrio i versi delle correnti nei lati delle maglie e si applica il primo principio ai nodi della rete, escluso uno; si applica poi il secondo principio a un sufficiente numero di maglie, in modo da avere tante equazioni indipendenti quante sono le correnti incognite che bisogna determinare: la risoluzione, mediante le regole dell'algebra, del sistema d’equazioni così ottenuto, determina in valore e verso le correnti incognite. A titolo di esempio si consideri la rete riportata in figura 2.

Il problema è quello di determinare, in valore e verso, le correnti che percorrono i sei lati della rete.

A tal fine, prefissati ad arbitrio i versi delle correnti nei singoli lati, come indicato in figura, si applica il primo principio ai nodi A, B, C e il secondo principio alle maglie ABCA, ABDA e BCDB: si ottengono ordinatamente le sei equazioni seguenti

I₁ = I₂ + I_{3 ;} I₂ + I₄ = I_{5 ;} I₆ + I₅ = I₁

E₁ - E₂ = R₁ I₁ + R₂ I₂ + R₅ I₅

-E₂ = R₂ I₂ - R₄ I₄ - R₃ I₃

0 = R5 I5 - R6 I6 + R4 I4

Figura 2

Si hanno dunque sei equazioni indipendenti, quante sono le correnti incognite, che possono essere determinate, in grandezza e segno, risolvendo il sistema: le correnti che risulteranno positive avranno verso opposto a quello indicato.